\( \mathbb{P} \) : noktalar kümesi
\( l \) : \( \mathbb{P} \) 'nin alt kümelerinin bir ailesi olan doğrular
\( m \) : açı ölçme fonksiyonu
\( d \) : uzaklik fonksiyonu
E1) Farklı iki noktayı içeren bir tek doğru vardır.
E2) Her doğru en az iki nokta, \( \mathbb{P} \) kümesi de doğrusal olmayan üç nokta içerir.
E3) Her sıralı \( (A,B) \) nokta çifti için \( d \) , negatif olmayan bir \( d(A,B) \) sayısını belirtir. Ayrıca \( d(A,B)=0 \) olması için gerek ve yeter koşul \( A=B \) olmasıdır.
E4) Her \( A \) ve \( B \) noktaları için \( d(A,B)=d(B,A) \) 'dir.
E5) Her \( A \) , \( B \) ve \( C \) noktaları için \( d(A,B)+d(B,C)>=d(A,C) \) 'dir.
E6) Verilen her \( l \) doğrusu için bir \( f:l \to \mathbb{R} \) fonksiyonu vardır öyleki tüm \( A \) , \( B \) noktaları için \( f(A)-f(B)=d(A,B) \) 'dir.
E7) Verilen her \( l \) doğrusu için \( \mathbb{P} \) 'nin aşağıdaki üç koşulu sağlayan \( \mathcal{H}_1 \) ve \( \mathcal{H}_2 \) gibi iki alt kümesi vardır.
(i) \( \mathcal{H}_1 \) ve \( \mathcal{H}_2 \) konvekstir.
(ii) \( \mathcal{H}_1 \cup \mathcal{H}_2 = \mathbb{P}-l \) (\( \mathbb{P} \) 'den \( l \) 'nin çıkarılmasıyla elde edilen küme).
(iii) \( A \in \mathcal{H}_1 \) ve \( B \in \mathcal{H}_2 \) ise, \( \overline{AB} \cap l \neq \emptyset \) 'dir.
E8) \( m \) , her bir açı için \( 0 \) ile \( 180 \) arasında değişen bir reel sayı ile belirtilir.
E9) \( \mathcal{H} \) yarı düzleminin kenarı üzerinde bir \( \overrightarrow{AB} \) ışını \( 0 \) ile \( 180 \) arasında herhangi bir \( r \) reel sayısı verilsin. Bu durumda \( P \in \mathcal{H} \) olmak üzere \( m(\angle PAB) = r \) olacak şekilde bir tek \( \overrightarrow{AP} \) ışını vardır.
E10) Eğer \( D \) noktası \( \angle ABC \) 'nin iç bölgesinde ise, \( m(\angle ABD) + m(\angle DBC) = m(\angle ABC) \) 'dir.
E11) Eğer \( B \) , \( A \) ile \( C \) arasında ve \( D \notin \overleftrightarrow{AC} \) ise, \( m(\angle ABD) + m(\angle DBC) = 180 \) 'dir.
E12) İki üçgenin köşe noktaları arasında bire-bir bir eşleme verilsin. Eğer birinci üçgenin iki kenarı ve aralarındaki açı, ikinci üçgenin karşılık gelen kenarlarına ve açıya eş ise bu üçgenler eştir.
E13) \( l \) doğrusu ve \( l \) 'nin dışında bir \( P \) noktası verilsin. Bu durumda \( P \) noktasından geçen \( l \) doğrusuna paralel olan bir tek doğru vardır.
KAYNAK
E. F. Krause, Taxicab Geometry, Dover Pub. Comp., New York (1975).